[2017년 대화고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 [eqn: lim_n->inf a_n =2], [eqn: lim_n->inf b_n =`-1]일 때,
[eqn: lim_n->inf ( a_n `^2 - a_n b_n + b_n`^2 )]의 값은? [4.3점]

⑤

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

급수 [eqn: sum_n=1^inf {1+2^n} over 3^n]의 합은? [4.3점]

④

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3over2]

④ [eqn: 5over2]	⑤ [eqn: 3]

수열 [eqn: LEFT { (x-3) LEFT ( {2x+3} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }]이 수렵하도록 하는 정수 [eqn: x]의 값의 합은? [4.3점]

①

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: lim_x->-1 {x^2 +ax +b} over {x^2 -x-2} =`-2]을 만족시키는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? [4.3점]

⑤

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(-2) =-3], [eqn: f(-1)=-1], [eqn: f(0)=3], [eqn: f(1)=1], [eqn: f(2) =-2]를 만족시킬 때, 방정식 [eqn: x^2 f(x) = 2x -1]은 열린구간 [eqn: (-2,```2)]에서 적어도 [eqn: m]개의 실근을 갖는다. 이 때, 자연수 [eqn: m]의 값은? [4.4점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)= {cases{-x+b&```(|x|<1)#x ^{2} +ax-2&```(|x| GEQ 1)}}]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

다음 급수 중 수렴하는 것은? [4.4점]

⑤

① [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {n} over {2n+3}]

② [eqn: 1+ 1over2 + 1over3 + 1over4 +`cdots]

③ [eqn: sum_n=1^inf ( sqrt { n^2}+2n-n)]

④ [eqn: -1 +1-1+1-1+1-`cdots]

⑤ [eqn: 1over{2 cdot 5} + 1over{3 cdot 6} + 1over{4 cdot7} +`cdots]

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]의 극한에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.4점]

②

ㄱ. [eqn: lim_n->inf (a_n - b_n )=0]이면 [eqn: lim_n->inf a_n over b_n =1]이다.
(단, [eqn: b_n !=0])

ㄴ. [eqn: lim_n->inf |a_n +b_n |=0]이면 수열 [eqn: left{a_n +b_n right}]은 수렴한다.

ㄷ. 수열 [eqn: left{a_n b_n right}]과 수열 [eqn: left{a_n right}]이 모두 수렴하면
수열 [eqn: left{b_n right}]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

[eqn: lim_x->inf x( sqrt { x^2 +4}-x)]의 값은? [4.5점]

④

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: x=0]에서 연속이지만 미분가능하지 않은 함수인 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

④

ㄱ. [eqn: f(x) = sqrt { x^2}]

ㄴ. [eqn: f(x) =x( |x |+1)]

ㄷ. [eqn: f(x)= {cases{x ^{2} -3x&```(x<0)#-4x&```(x ge0)}}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

열린구간 [eqn: (-2,```2)]에서 정의된 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 그림과 같다. [eqn: lim_x->0+ f(f(x)) + lim_x->0- f(x)g(x)]의 값은? [4.5점]

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

양수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: f(k)= lim _{n -> INF } {} {LEFT ( {k} over {2} RIGHT ) ^{n+1} +2 ^{n+1}} over {LEFT (k over2 RIGHT )^n +2^n}]의 값에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 고른 것은? [4.5점]

③

ㄱ. [eqn: f(1)=2]이다.

ㄴ. [eqn: f(4)=1]이다.

ㄷ. [eqn: k>4]이면 [eqn: f(k)=2]이다.

ㄹ. [eqn: sum_k=1^8 f(k) =21]이다.

① ㄱ, ㄷ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄱ, ㄹ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄷ, ㄹ

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (2,```f(2))]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 1over2]일 때, [eqn: lim_h->0 {f(2+h) - f(2-h)} over h]의 값은? [4.6점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim_x->4 {2 sqrt { x}-4} over{x^2 -4x}]의 값은? [4.6점]

②

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over8]	③ [eqn: 1over16]

④ [eqn: 1over24]	⑤ [eqn: 1over32]

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: lim_n->inf{a_n +4n} over {n^3 a_n +4]의 값은? [4.6점]

∘ [eqn: lim_n->inf (2n^2 -1)a_n =4]

∘ 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 4n-1<b_n < 4n+2]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여
[eqn: f(x+y) =f(x) +f(y) +2xy(x+y)]
를 만족시킨다. [eqn: f`'(0)=-2]일 때, [eqn: f`'(n)>10]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은? [4.6점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 전체에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 다음과 같다.

실수 전체에서 정의된 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x)={ |f(x) |-f(x)} over2]라고 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.7점]

①

ㄱ. 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

ㄴ. 함수 [eqn: (g CIRCf)(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x-a)f(x)]가 [eqn: x=a]에서 연속이 되는
상수 [eqn: a]의 값이 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 =1]이고
급수 [eqn: sum_n=1^inf left( a_n over n - {1^2 +2^2 +3^2 +`cdots`+n^2} over(2n-1)^3 right)]이 수렴할 때,
[eqn: sum_n=1^inf left(a_n over n - a_n+1 over n+1 right) = q overp]이다. 이 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수) [4.7점]

③

① [eqn: 24]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 47]

④ [eqn: 53]	⑤ [eqn: 61]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim_x->inf {f(x)-x^3}over{x^2 +1} =3], [eqn: lim_x->-1 f(x) over x+1 =-1]을 만족시킬 때, [eqn: lim_x->inf xf left(1overx right)]의 값은? [4.7점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 4]인 원이 있다. 이 원에 내접하는 정육각형을 그리고, 정육각형의 마주보는 점을 연결하여 생기는 모양에 색칠하여 얻는 그림을 [eqn: R_1]이라 하자. [eqn: R_1]에서 색칠하지 않은 모양에 내접하는 세 원을 만들고, 이 세 원에 각각 그림 [eqn: R_1]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 세 모양에 색칠하여 얻는 그림을 [eqn: R_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻는 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> inf} {} S _{n}]의 값은? [4.7점]

⑤

① [eqn: 8sqrt { 3}]	② [eqn: 10 sqrt { 3}]	③ [eqn: 12 sqrt { 3}]

④ [eqn: 14 sqrt { 3}]	⑤ [eqn: 16 sqrt { 3}]

서술형

두 함수
[eqn: f(x) = lim_n->inf {(2x-5)^2n+1 + 3(2x-5)^2n } over{(2x-5)^2n +1}], [eqn: g(x) =x^2 +ax+b]
에 대하여 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: n]은 자연수다.) [10.0점]

[eqn: 1]

[eqn: a=-5], [eqn: b=6]

[2017년 대화고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com